考虑如下的一阶微分方程：

$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$

选取小的h，有如下结果：

$\frac{dx}{dt}=f(x,t)=\frac{x(t+h)-x(t)}{h}=\frac{x_k-x_{k-1}}{h}$

重写为如下形式：

$x_k=x_{k-1}+hf(x,t)$

使用下面的二阶线性微分方程作为例子：

$\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega ^2x$

初始条件：

$x(0)=0$

$\frac{dx}{dt}=\omega$

其解析解为$x=\sin{\omega t}$

matlab程序如下（请忽视作为一个初学者的糟糕语法）

% Euler numerical integration for d(dx/dt)/dt = -omega*omega*x

w = 2;                      % w is omega

x = zeros(1, 1000);   % x init condition:=0

xd = w;                    % xd = dx/dt, init condition:=w

h=0.01;                    % step size

loop_times = 1;

for t = 0:h:9.99

    xdd = -w * w * x(loop_times);

    xd = xd + h*xdd;

    x(loop_times + 1) = x(loop_times) + h*xd;

    loop_times = loop_times + 1;

end

plot(x);

hold on;                     % put the following curve on the same plot

t = 0:h:9.99;

plot(sin(w*t));